изображения реакций химических (См. Реакции химические) посредством знаков химических (См. Знаки химические), формул химических (См. Формулы химические), чисел и математических знаков. На возможность такого описания химических реакций указал в 1789 А. Лавуазье, основываясь на сохранения массы законе (См. Массы сохранения закон); однако всеобщее применение У. х. получили только в 1-й половине 19 в. Каждое У. х. состоит из двух частей - левой и правой, соединённых знаком равенства (иногда для обозначения направления реакции - простой стрелкой →, а реакции обратимой - двойной .). В левой части пишут формулы исходных веществ, в правой - формулы полученных веществ; между формулами ставят знак +. При составлении У. х. принимают, что масса полученных веществ равна массе исходных и что число атомов одних и тех же элементов должно быть в обеих частях У. х. одинаковым. Перед формулами исходных и полученных веществ ставят коэффициенты, которые должны быть целыми числами. Например, зная, что при горении метана в кислороде образуются вода и двуокись углерода, можно сразу написать У. х. этой реакции:

CH₄ + 2O₂ = 2H₂O + CO₂. (1)

В более сложных случаях применяют приёмы, описанные в ст. Окисление-восстановление, а также способ, основанный на решении систем неопределённых уравнений. Например, требуется подобрать коэффициент У. х. обжига пирита FeS₂ в кислороде:

xFeS₂ + yO₂ = 2Fe₂O₃ + tSO₂. (2)

Очевидно, что х = 2z, t = 2x, 1y = 3z + 2t. Положив z = 1, имеем: х = 2, t = 4, у = 5,5. Умножив эти числа на 2, получаем: 4FeS₂ + 11O₂ = 2Fe₂O₃ + 8SO₂.

На основании У. х. делаются расчёты, необходимые в лабораторной и заводской практике.

Лит.: Некрасов Б. В., Основы общей химии, 3 изд., т. 1, М., 1973.

С. А. Погодин.

см. Уравнения химические.

краткий способ описания химической реакции. Символы, обозначающие вступающие в реакцию вещества, находятся в левой части уравнения, а обозначения продуктов реакции - в правой:

где в скобках указано агрегатное состояние, Q - тепловой эффект реакции. Это уравнение описывает химическую реакцию между натрием и хлором с образованием хлорида натрия (поваренная соль). Натрий - металл, бурно реагирующий с водой, хлор - ядовитый газ, но, соединяясь друг с другом, эти элементы образуют вполне безвредное вещество, необходимое для жизни. Это пример реакций присоединения. Известны также химические реакции замещения, обмена, разложения и пр.; реакции могут быть обратимые, ионные, окислительно-восстановительные, ядерные и др. в зависимости от принципа классификации реакций: по формальному признаку, по механизму реакций, по термодинамическим или кинетическим параметрам и т.д. См. также ПРЕВРАЩЕНИЯ ВЕЩЕСТВ
.

Реакции присоединения X + Y . XY

Примеры:

Число атомов данного элемента в левой части уравнения равно числу этих атомов в правой части, другими словами, вещество в ходе химической реакции не возникает из ничего и не уничтожается. Химическая реакция, в которой выделяется тепло, например реакция (1), называется экзотермической, а реакция, которая протекает только при подводе тепла извне, например реакция (2), - эндотермической. Почти все химические реакции сопровождаются выделением или поглощением тепла, но в уравнениях это часто не указывают, если только не рассматриваются термодинамические аспекты процесса.

Реакции замещения

или

Примеры:

В реакции (4) металлический цинк замещает водород в соляной кислоте. В реакции (5) медь замещает серебро в нитрате серебра. В реакции (6) хлор замещает бром в бромиде кальция.

Реакции обмена (двойного замещения) XY + UV . XV + UY

Примеры:

Реакция (7) - типичный пример кислотно-основной реакции (реакции нейтрализации), продуктами которой являются соль и вода. В реакции (8) в результате взаимодействия иона бария Ba2+, принадлежащего нитрату бария Ba(NO3)2, c сульфат-ионом серной кислоты образуется осадок сульфата бария BaSO4. В реакциях (7) и (8) реагирующие вещества обмениваются катионами.

Реакции разложения (расщепления)

Примеры

В реакции (9) синие кристаллы гидратированного сульфата меди разлагаются при нагревании, при этом гидратная вода превращается в пар. Реакция (10) протекает при относительно невысокой температуре в присутствии катализатора - диоксида марганца. Катализатор ускоряет химическую реакцию, оставаясь при этом неизменным (см. также КАТАЛИЗ). Реакция (11) применяется в промышленности: известняк (карбонат кальция CaCO3) при интенсивном нагревании разлагается, образуя негашеную известь (оксид кальция CaO) - важную составную часть цемента.

Обратимые реакции или

Стрелки в прямом и обратном направлениях указывают, что продукты реакции взаимодействуют с образованием исходных реагентов, другими словами, реакция идет в обоих направлениях. Систему, в которой протекает обратимая реакция, можно уподобить двум водоемам, соединенным узкой протокой, в которых обитают два или несколько видов рыб. Рыбы беспрепятственно переплывают из одного водоема в другой, так что в конце концов каждый водоем оказывается заселенным смешанной популяцией постоянного состава. Это и есть состояние равновесия.

Примеры:

Количества исходных веществ и продуктов реакции сильно зависят от давления, температуры и концентрации реагирующих веществ.

Ионные реакции. Химические уравнения можно записывать с указанием заряда исходных веществ и продуктов реакции (+, -, 0 означают положительный, отрицательный и нулевой электрические заряды соответственно; их помещают вверху справа от символа химического элемента). Члены уравнения в правой и левой его частях, отвечающие группам атомов одинакового состава, несущих одинаковый заряд, можно сокращать, как это принято в алгебраических уравнениях:

Ион серебра Ag+ несет один положительный заряд; следовательно, на каждый атом меди, образующий двухзарядный положительный ион, должно приходиться два иона серебра, поскольку суммы зарядов в левой и правой частях уравнений должны быть одинаковы. После сокращения одинаковых членов в обеих частях уравнения получаем уравнение (16), которое выражает химические превращения, произошедшие в реакции. Приведенные выше уравнения - это три разных способа представления одной и той же химической реакции: ее молекулярная форма, полная и сокращенная ионные формы.

Ядерные реакции. Ядерные реакции можно отнести к химическим лишь весьма условно, поскольку в них элемент превращается в изотоп того же элемента или другой элемент. Иногда какая-то часть вещества в ядерной реакции исчезает, и этот процесс сопровождается высвобождением огромного количества энергии; такие процессы происходят при взрыве атомной бомбы или в ядерном реакторе. Обычно в уравнениях ядерных реакций фигурируют нейтроны (), протоны (), электроны (), ?-частицы (), ?-лучи () и позитроны (). Верхний левый индекс обозначает массу частицы, а нижний левый - ее заряд. Приведем уравнения типичных ядерных реакций:

Суммы верхних индексов в левой и правой частях уравнения должны быть одинаковыми; то же самое относится к нижним индексам. Может показаться, что масса вещества в ходе ядерных реакций (17)-(19) не изменяется. В действительности же вследствие взаимодействия элементарных частиц в ядре и изменения их массы покоя у продуктов масса может оказаться чуть меньше, чем у исходных веществ. Именно с исчезновением этого незначительного количества вещества, которое превращается в энергию согласно уравнению Эйнштейна Е = mc2, и связана разрушительная сила ядерного взрыва. Протекающая при этом реакция описывается уравнением (19). В уравнении (17) ((криптон ) испускает нейтрон с образованием изотопа с тем же атомным номером (36), но массой, меньшей на единицу.

Окислительно-восстановительные реакции. В ходе окислительно-восстановительной реакции меняется заряд элементов (их степень окисления), что и учитывается при написании уравнения. Потеря электрона называется окислением, а приобретение - восстановлением. Число отданных и приобретенных в ходе реакции электронов должно быть одинаковым, и исходя из этого устанавливаются соотношения между всеми участниками реакции. Рассмотрим реакцию

Приведем более сложный пример - окислительно-восстановительную реакцию между медью и концентрированной азотной кислотой:

В ходе этой реакции Сu0 теряет 2 электрона, превращаясь в ион Сu2+, а N5+ принимает 1 электрон, превращаясь в N4+. Чтобы уравнять число отданных электронов с числом приобретенных, вводим коэффициент 2 перед NO2 в правой части, а чтобы число атомов азота при этом осталось прежним, умножаем HNO3 в левой части на 2. Cu(NO3)2 в правой части содержит два иона степень окисления N в которых равна +5. Чтобы сохранить число ионов в левой части с той же степенью окисления, добавляем в левой части 2 молекулы HNO3. Далее, чтобы уравнять 4H+, содержащихся в молекулах HNO3, записываем в правой части 2H2O. В левой части имеем 3?4 = 12 ионов кислорода, содержащихся в кислоте. Эти 12 ионов кислорода присутствуют и в правой части: 2 в воде, 4 в NO2 и 6 в нитрате меди Cu(NO3)2. Аналогичным образом можно записывать любые, более сложные уравнения.

Применение. Химические уравнения используются химиками-технологами при расчете характеристик производственных процессов. Так, с их помощью определяется количество реагентов (сырья), необходимое для получения данного количества продукта. См. также ХИМИЯ.

понятие теории дифференциальных уравнений. Уравнением, сопряжённым с дифференциальным уравнением

, (1)

называется уравнение

, (2)

Соотношение сопряженности взаимно. Для С. д. у. имеет место тождество

,

где ψ (у, z) - билинейная форма относительно у, z и их производных до (n - 1)-го порядка включительно. Знание k интегралов сопряжённого уравнения позволяет понизить на k единиц порядок данного уравнения. Если

y₁, у₂,... у_n (3)

- фундаментальная система решений уравнения (1), то фундаментальная система решений уравнения (2) даётся формулами

(i = 1, 2, ..., n),

где Δ - определитель Вроньского (см. Вронскиан) системы (3). Если для уравнения (1) заданы краевые условия, то существуют сопряжённые с ними краевые условия для уравнения (2) такие, что уравнения (1) и (2) с соответствующими краевыми условиями определяют сопряжённые дифференциальные операторы (см. Сопряжённые операторы). Понятие сопряженности обобщается также на системы дифференциальных уравнений и на уравнения с частными производными.

1) в механике - динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.

Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

I_xω̇_x + (I_z - I_y) ω_yω_z = M_x,

I_y + (I_x - I_z) ω_zω_x = M_y, (1)

I_zω̇_z + (I_y - I_x) ω_xω_y = M_z,

где I_x, I_y, I_z - моменты инерции (См. Момент инерции) тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, ω_х, ω_у, ω_z - проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, M_x, M_y, M_z - гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; ω̇_x, , ω̇_z - проекции углового ускорения.

Кинематические Э. у. дают выражения ω_х, ω_у, ω_z через Эйлеровы углы φ, ψ, θ и имеют вид

ω_x= Ψ̇sin θ sinφ + θ̇cosφ,

ω_у= Ψ̇sin θ cosφ - θ̇sinφ, (2)

ω_z= + cos θ.

Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

2) В гидромеханике - дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность ρ, проекции скоростей частиц жидкости u, υ, ω и проекции действующей объёмной силы X, У, Z рассматривать как функции координат x, у, z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

,

,

.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить u, υ, ω, р, ρ, как функции х, у, z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера

.

В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния ρ = φ (р) (или ρ - const, когда жидкость несжимаема).

Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.

Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.

С. М. Тарг.